При исследовании явлений природы и в своей практической деятельности человек сталкивается с множеством различных величин, например, время, длина, скорость, масса и т.д. Каждая из них в зависимости от условий вопроса, в котором она рассматривается, принимает либо различные значения, либо только одно. В первом случае мы имеем дело с переменной величиной, а во втором – с постоянной. Введение в математике переменной величины связывают с именем Декарта. Именно он предложил обозначать постоянные величины первыми буквами латинского алфавита (a, b, c…), а переменные – последними (…x, y, z).
Перечислим классы функций, получивших название элементарных.
1). Целая и дробная рациональная функция. Функция, представляемая целым относительно х многочленом у=а0хn+a1xn-1+…+an-1x+an (а0, а1,… - постоянные), называется целой рациональной функцией. Отношение двух таких многочленов
представляет дробную рациональную функцию. Она определена для всех значений х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.
2). Степенная функция имеет вид , где μ – любое постоянное вещественное число. При целом μ получается рациональная функция, при дробном μ мы имеем здесь радикал.
3). Показательная функция имеет вид у=ах, где а – положительное число, отличное от единицы; х - принимает любое вещественное значение.
4). Логарифмическая функция имеет вид y=logax, где а, как и выше,- положительное число отличное от единицы, х – принимает только положительные значения.
5). Тригонометрические функции: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, y=secx, y=cosecx. Аргументы тригонометрических функций, если их рассматривать как меры углов, всегда выражают эти углы в радианах.
6). Обратные тригонометрические функции: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
2. Последовательности и их пределы.
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел а1, а2, а3, …, аn,… расположенных в определенном порядке одно за другим. Числа, входящие в последовательность называются ее членами, Среди членов последовательности могут быть и одинаковые числа. Последовательность считается заданной, если известен закон ее образования.
Если для данной последовательности а1, а2, а3, …, аn,… существует число А, к которому числа аn при увеличении n подходят как угодно близко, то такое число А называется пределом последовательности.
Точная формулировка: A=lim an при n→∞ если для каждого положительного числа ε, сколько бы мало оно не было, существует такой номер N, что все значения xn , у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству .