Контрольная работа по теме Иследование функций с помощью производной

1. Определение дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Алгоритм нахождения приближенного значения функции в точке с помощью дифференциала.

Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ∆x аргумента х, т. е.
(I)

Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ∆x.
Для данного значения независимого переменного х дифференциал функции f(x) есть линейная функция приращения независимого переменного ∆х.
Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в точке х проведена касательная к графику функции y=f(x). Из ∆MPT следует, что
PT = MP*tgφ = ∆x*f '(x).
Но по определению f '(х) *∆x = dy, поэтому PT = dy.
Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.
Дифференциал dy и приращение ∆у вообще не равны между собой. На черт. dy = PT менее ∆y=PQ.
Очевидно, dy может быть и более ∆y. Это будет, например, если поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.
Разность между приращением и дифференциалом функции, ∆у—dy, высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ∆x.
Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю вместе с приращением аргумента.
Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x) обладает двумя свойствами:
1) dy пропорционален ∆x (dy = k∆x, где k=y');
2) отношение (∆y—dy)/∆x стремится к нулю при стремлении ∆x к нулю.
Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами: