Выдержка из дипломной работы, по теме: Поверхностные интегралы, примеры применения в геометрии и физике - несет исключительно ознакомительное назначение и может отличатся от имеющейся в наличии. Рекомендуем скачать краткую - версию для получения более полного представления о предлагаемой курсовой работе.
Введение
Поверхностный интеграл, интеграл от функции, заданной на какой-либо поверхности. К поверхностным интегралам приводит, например, задача вычисления массы, распределённой по поверхности S с переменной поверхностной плотностью f (M). Для этого разбивают поверхность на части s1, s2,..., sn и выбирают в каждой из них по точке Mi. Если эти части достаточно малы, то их массы приближённо равны f (Mi) si, а масса всей поверхности будет равна . Это значение тем ближе к точному, чем меньше части si. Поэтому точное значение массы поверхности есть
,
где предел берётся при условии, что размеры всех частей si (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называют поверхностными интегралами первого рода от функции f (M) по поверхности S и обозначают
.
Их вычисление приводится к вычислению двойных интегралов.
В некоторых задачах физики, например при определении потока жидкости через поверхность S, встречаются пределы аналогичных сумм с той лишь разницей, что вместо площадей самих частей стоят площади их проекций на три координатные плоскости. При этом поверхность S предполагается ориентированной (т. е. указано, какое из направлений нормалей считается положительным) и площадь проекции берётся со знаком + или — в зависимости от того, является ли угол между положительным направлением нормали и осью, перпендикулярной плоскости проекций, острым или тупым. Пределы сумм такого вида называют поверхностными интегралами второго рода (или П. и. по проекциям) и обозначают
В отличие от поверхностных интегралов первого рода, знак поверхностного интеграла второго рода зависит от ориентации поверхности